通常来讲，私生子的抚养权归属通常遵循这些原则：
①在哺乳期内，孩子一般由正在哺乳的母亲抚养，这是因为此时孩子需要母亲的母乳来满足生长需求，母亲在照顾孩子方面也更具优势。
②当孩子过了哺乳期后，如果父母双方因抚养问题产生争执且无法达成一致意见，那么人民法院会根据孩子的权益以及双方的具体情况来作出判决。
③当子女已满八周岁时，他们已经有了一定的认知能力和自我表达意愿，此时应当尊重他们的真实意愿，让孩子自己选择更愿意跟随哪一方生活。
④对于不直接抚养非婚生子女的生父或生母，他们有义务负担子女的生活费和教育费，并且要一直负担到子女能够独立生活为止。
这是为了确保孩子在成长过程中能够获得足够的物质支持和教育资源。
总之，私生子的抚养权归属是一个较为复杂的问题，需要综合考虑多方面的因素，始终以保障子女的最大利益为根本出发点，这样才能做出最合理的抚养权归属决定。

案情回顾:

小朱与小李未婚生育一子。孩子哺乳期内，小朱想争取抚养权，但小李认为自己也能照顾好孩子，双方产生争议。孩子过了哺乳期，两人仍争执不下，且孩子八周岁后，对于跟随谁生活也出现不同意见，同时在抚养费负担上也存在分歧。

案情分析:

1、哺乳期内，一般应由母亲小朱抚养，因母乳对孩子生长有重要作用，母亲照顾更具优势。
2、过了哺乳期双方争执不下时，法院会综合经济状况、居住环境等因素判决。
3、孩子八周岁后，应尊重其真实意愿来确定抚养权归属。
4、不直接抚养的一方，需负担孩子生活费和教育费至其能独立生活。