在现实生活中，当父亲不幸离世时，并不存在所谓“抚养权继承”这一说法。
抚养权，本质上是基于父母与子女之间紧密的关系而产生的，它主要是针对未成年子女的监护以及抚养的权利。
当父亲死亡后，子女抚养权的归属通常会依据不同情况来确定，具体如下：
1.若母亲健在并且具备抚养孩子的能力，一般情况下会由母亲取得抚养权，继续承担起抚养孩子的责任。
这是因为，按照法律规定，父母是未成年子女的法定监护人，母亲天然地享有抚养孩子的权利，同时也肩负着相应的义务。
例如，母亲有稳定的收入，能够为孩子提供良好的生活和教育条件，那么她就可以很好地抚养孩子。
2.若母亲由于某些原因不具备抚养能力，
总之，确定抚养权的归属始终是以有利于未成年子女的健康成长为根本原则，要综合多方面因素来考虑。

案情回顾:

小朱的父亲不幸离世，小朱未成年。小朱母亲小丽健在但沉迷赌博，小朱祖父母认为小丽不适合抚养小朱，主张自己获得小朱抚养权，小丽则认为自己作为母亲应取得抚养权，双方为此产生争议。

案情分析:

1、抚养权不存在“继承”说法，是基于父母与子女关系产生的针对未成年子女监护抚养权利。小朱父亲去世后，抚养权归属需根据具体情况确定。
2、小丽虽作为母亲天然享有抚养权利，但她沉迷赌博，属于不适宜抚养的情形，不具备抚养能力。而小朱祖父母若经济条件较好且身体健康有精力照顾，以有利于小朱健康成长原则考虑，可担任监护人抚养小朱。