关于抚养权起诉费用的承担问题，相关规定如下：
一、预交费用方面
起诉时，通常是由原告先行预交案件受理费。
这是诉讼程序中的常规操作。
具体来说，依据《诉讼费用交纳办法》的相关内容，离婚案件每件需交纳50元至300元。
若涉及财产分割，情况会有所不同。
当财产总额不超过20万元时，无需另行交纳费用；而一旦财产总额超过20万元，对于超出的部分，则需要按照0.5%的比例交纳费用。
在单纯的抚养权纠纷案件中，一般是按照离婚案件的标准来预交费用的。
二、最终承担方面
当案件审结后，诉讼费用的承担并非固定不变，而是由人民法院根据案件的具体情况来作出决定。
法院在判断时，会综合多方面因素进行考量。
首先是双方的责任分担情况，比如在抚养权纠纷中，一方长期未尽抚养义务，对纠纷的产生存在明显过错，这种情况下，法院可能会判决该方承担较多的诉讼费用。
其次是双方的经济状况，若一方经济条件较好，而另一方经济较为困难，法院也会适当考虑。
此外，案件的实际情况，如是否存在恶意诉讼等行为，也是法院判断的重要依据。

案情回顾:

小朱和小李因孩子抚养权问题产生纠纷，小朱向法院起诉。小朱按规定预交了受理费，因不涉及财产分割，预交费用在50元至300元之间。案件审结后，对于诉讼费用的承担，双方存在争议。

案情分析:

1、关于预交费用，按照相关规定，小朱作为原告先行预交是符合诉讼程序常规操作的。在不涉及财产分割的抚养权纠纷案件中，按离婚案件标准预交费用也是合理的。
2、对于最终承担，法院会综合考量。若小李长期未尽抚养义务，对纠纷产生有明显过错，法院可能判其承担较多费用。若双方经济状况有差异，或存在恶意诉讼等情况，法院也会据此作出裁决。