当出现一方不履行支付抚养费义务的情况时，可通过以下几种方式来妥善解决：
一、协商解决
这是最为温和且优先考虑的方式。
在实际操作中，抚养孩子的一方可以选择一个双方都相对方便且安静的环境，与未支付抚养费的一方进行深入沟通。
比如，可以在双方都熟悉的家中或者咖啡馆等地。
沟通时，要心平气和地向对方阐述孩子成长过程中的各项实际需求，如生活、教育、医疗等方面的开支，让对方清楚了解抚养孩子所需的费用情况。
同时，明确提醒对方履行抚养义务，并详细告知其不支付抚养费可能面临的法律后果，促使对方主动承担起支付抚养费的责任。
二、申请强制执行
若协商未能达成预期效果，抚养孩子的一方就需要通过法律途径来维护自身和孩子的权益。
这时，可以向有管辖权的法院提起诉讼，要求对方支付抚养费。
法院在受理案件后，会依据相关法律法规和实际情况作出公正的判决。
若对方在判决后仍然拒不履行支付义务，抚养孩子的一方可向法院申请强制执行。
法院有权采取多种有力的强制执行措施，例如查询对方在各个银行的存款信息、冻结其账户资金、直接划拨存款到指定账户，还可以查封、扣押对方名下的房产、车辆等财产，并通过合法的拍卖程序变现用于支付抚养费。
三、司法拘留及刑事责任追究
对于那些有足够的经济能力支付抚养费却故意拒不支付，且情节严重的行为，法院会依法对其处以司法拘留。
如果这种行为已经构成犯罪，相关部门会依据法律规定，追究其刑事责任，以维护法律的尊严和公平正义。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小李未按约定支付孩子抚养费。小朱先与小李协商，在咖啡馆沟通孩子生活、教育等开支需求并提醒法律后果，但小李仍拒绝支付。小朱起诉，法院判决后小李依旧不付，争议点在于小李有能力支付却故意拖欠，该如何让其履行义务。

案情分析:

1、协商是解决纠纷的优先方式，小朱与小李协商时明确告知相关情况及法律后果是合理的，但小李拒绝支付显示出其缺乏责任意识。
2、小朱起诉后，法院判决具有法律效力，小李拒不执行，小朱申请强制执行是维护权益的合法途径，法院有权采取多种措施保障执行。
3、若小李有能力支付却故意不付且情节严重，法院处以司法拘留或追究刑事责任是依法行事，以维护法律尊严。