在孩子成长过程中，当面临一些特殊情况时，直接抚养孩子的一方是可以要求对方支付抚养费的。
下面为你展开详细分析：
一、法律层面的规定
我国《民法典》明确指出，离婚后，父母对子女的抚养、教育以及保护的权利和义务依然存在。
抚养费的支付，本质上是源于父母对子女不可推卸的抚养责任。
这一责任是持续性的，并不会因为诸如子女是否生病等各种特殊状况而被免除。
也就是说，无论孩子的健康状况如何，父母都有责任和义务为孩子的成长提供经济支持。
二、现实生活中的需求
当孩子不幸患上重病时，随之而来的往往是大量的经济支出。
除了基本的医疗费用外，可能还需要支付专业护理的费用，购买特殊的营养食品或康复用品等。
在这种情况下，不直接抚养孩子的一方支付相应的抚养费就显得尤为重要，这能够保障孩子在重病期间能够得到必要且及时的治疗和悉心的照顾。
三、具体的解决途径
要是对方拒绝支付抚养费，直接抚养孩子的一方首先可以尝试与对方进行友好协商，心平气和地说明孩子的实际情况和需求，争取对方能够主动履行支付义务。
若协商无法达成一致，那么就可以向法院提起诉讼。
通过法律途径，要求对方支付抚养费，并且根据孩子重病期间的实际花费等情况，适当增加抚养费的数额，以满足孩子的特殊需求。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，孩子由小朱直接抚养。后孩子不幸患上重病，产生大量医疗、护理等费用。小朱要求小李支付抚养费及增加抚养费数额，小李却拒绝支付，双方产生争议。

案情分析:

1、从法律层面看，依据《民法典》，离婚后父母对子女抚养责任持续存在，不因孩子生病等特殊情况免除，小李有支付抚养费的义务。
2、从现实需求看，孩子重病期间经济支出大，小李支付抚养费及适当增加数额，能保障孩子得到必要治疗和照顾。
3、若协商不成，小朱可向法院起诉，通过法律途径要求小李支付抚养费并适当增加数额。