关于儿子能否放弃母亲遗嘱中指定给自己的遗产这一问题，答案是可以的。
下面为你详细介绍相关情况：
一、放弃遗产的法律规定
根据我国法律规定，在继承开始后，继承人若想放弃继承，应当在遗产处理前，以书面形式作出放弃继承的明确表示。
若没有作出相应表示，则视为接受继承。
例如，母亲去世后，遗产开始进入继承程序，若儿子决定放弃母亲遗嘱指定给自己的遗产，就需要在遗产实际分配处理之前，通过书面的形式把放弃的意思清楚地表达出来。
比如写一份放弃继承声明书，详细说明自己放弃的遗产内容等。
二、放弃后的遗产分配
一旦儿子作出有效的放弃表示，那么他就不再参与这部分遗产的继承。
如果遗嘱中对于这部分放弃的遗产没有其他安排，相应遗产会按照法定顺序由其他继承人继承。
比如，若母亲还有其他子女或者父母等法定继承人，他们就会按照法律规定的顺序和份额来继承这部分遗产。
三、放弃表示的撤回限制
需要注意的是，放弃继承的意思表示作出后一般是不得撤回的，除非存在特殊法定情形。
这是为了维护遗产继承的稳定性和其他继承人的合法权益。

案情回顾:

小朱的母亲去世并留有遗嘱，指定部分遗产由小朱继承。但小朱考虑后决定放弃该部分遗产，引发争议，焦点在于小朱能否放弃及放弃后遗产如何分配。小朱书面表示放弃后，其亲属对遗产分配产生分歧。

案情分析:

1、根据法律规定，小朱在继承开始后、遗产处理前，以书面形式作出放弃继承的明确表示，其放弃行为合法有效。
2、小朱放弃后，不再参与该部分遗产继承。若遗嘱对放弃部分无其他安排，相应遗产会按法定顺序由其他继承人继承。
3、小朱放弃继承的意思表示作出后一般不得撤回，除非存在特殊法定情形，以维护继承稳定性和其他继承人权益。