如果立遗嘱人发现自己的财产被转走，可参照以下方法妥善处理：
1.确认转走行为的性质：
首先，要仔细判断财产转走行为是否合法合规。
在现实生活中，财产转走的情况较为复杂，可能涉及多种情形。
例如，若转走行为涉及盗窃，即他人未经许可秘密窃取财产；或者存在诈骗行为，通过欺骗手段非法获取财产等违法犯罪行为，立遗嘱人应第一时间向公安机关报案。
公安机关具备专业的侦查能力和资源，能够及时介入调查，尽力追回被转走的财产。
2.收集证据：
立遗嘱人要尽可能全面地收集财产被转走的相关证据。
这其中包括详细的转账记录，比如转账时间、金额、收款方等信息；财产变动的各类文件，如房产过户文件、股权变更文件等；若有知晓情况的证人，还要收集证人证言等。
这些证据将为后续的维权行动提供有力的依据。
3.通过法律途径解决：
若涉及民事纠纷，比如未经立遗嘱人授权的财产转移行为，立遗嘱人可向人民法院提起民事诉讼。
在诉讼中，明确要求返还被转走的财产，并可根据实际损失情况，要求对方进行相应的赔偿。
若遗嘱已经订立，而财产转移行为对遗嘱的执行产生了影响。
那么在立遗嘱人去世后，遗嘱执行人或继承人也可以依据法律规定，积极维护自身的合法权益，通过诉讼等合法方式追回被不当转走的财产。

案情回顾:

小朱立下遗嘱后，发现自己部分财产被转走。他怀疑是小李所为，但小李称是正常经济往来。小朱面临财产被转走且性质不明的争议，决定采取措施维护自身权益。

案情分析:

1、小朱首先应确认转走行为的性质，若怀疑小李存在盗窃、诈骗等违法犯罪行为，要及时向公安机关报案，借助公安机关力量调查并追回财产。
2、小朱要全面收集证据，如转账记录、财产变动文件及证人证言等，为后续维权提供有力支撑。
3、若涉及民事纠纷，小朱可向法院提起民事诉讼，要求小李返还财产并赔偿损失；若财产转移影响遗嘱执行，小朱去世后，遗嘱执行人或继承人可依法追回财产。