针对租户在遇到业主极其严重的违约行为时，是否仍负有继续支付租金的义务这一问题，其答案的确定性主要取决于租赁协议中的详细条款以及适用的相应法律法规。一般来说，如若业主出现严重违约现象，租户将有权暂缓支付租金直至业主修复违约错误或协议依照法律程序解除为止。
然而，具体处理方式应依据协议条文及法律规定进行谨慎分析与评估。关于业主的根本性违约行为：
首先，我们必须明确何为“业主的根本违约”。
根据我国《中华人民共和国民法典》合同编的相关规定，根本违约通常是指一方当事人的违约行为致使合同目的无法达成。对于租赁协议来说，这可能涉及但并不仅限于业主未经许可撤回房产、蓄意损坏租赁资产等行为。关于租户的权利与义务：当业主发生根本违约时，租户有权要求业主修复违约错误、赔偿经济损失或协议解除。
然而，租户是否需要继续支付租金，则须依据实际情况而定。假如租户决定继续执行协议并要求业主修复违约错误，那么租户可能需要继续支付租金。反之，若租户选择解除协议，那么租户通常无需再支付租金。

《中华人民共和国民法典》
第五百七十七条当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。
第五百七十八条当事人一方明确表示或者以自己的行为表明不履行合同义务的，对方可以在履行期限届满前请求其承担违约责任。
第五百七十九条当事人一方未支付价款、报酬、租金、利息，或者不履行其他金钱债务的，对方可以请求其支付。
第五百八十四条当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定，造成对方损失的，损失赔偿额应当相当于因违约所造成的损失，包括合同履行后可以获得的利益；但是，不得超过违约一方订立合同时预见到或者应当预见到的因违约可能造成的损失。