当遇到房子被亲戚霸占且不搬走这种棘手的情况时，可参照以下方法妥善处理：
1.协商解决：
这是解决问题的首要步骤。
找一个合适的时机，与亲戚心平气和地坐下来沟通。
可以选择在一个安静、舒适的环境中，诚恳地向亲戚表明，房子的归属问题是明确的，他们这种霸占不搬的行为是不合适的。
清晰、明确地告知亲戚，希望他们能在一个合理的期限内搬走，在沟通的过程中，要保持冷静和理智，倾听亲戚的想法和诉求，也许通过这次沟通，双方能达成共识，和平解决问题。
2.发送催告函：
若协商未能取得理想的结果，此时可以考虑委托专业的律师发送催告函。
律师会依据相关法律和实际情况，撰写一份正式、严谨的催告函。
在催告函中，明确要求亲戚在规定的期限内搬离房屋，例如半个月，并告知亲戚若不按时搬离可能面临的法律后果。
同时，要妥善保留好发送催告函的相关凭证，以备后续可能用到。
3.提起诉讼：
倘若亲戚对催告函置之不理，依旧不肯搬走，那么就需要向法院提起民事诉讼。
在诉讼中，要求亲戚停止侵权行为，立刻搬离房屋。
并且，可以主张赔偿因亲戚霸占房屋给自己造成的各种损失，法院在受理案件后，会根据双方提供的证据以及相关法律规定进行公正的判决。
若判决生效后，亲戚仍然拒不执行，可向法院申请强制执行，由法院采取强制手段使其搬离房屋。

案情回顾:

小朱的房子被亲戚小李霸占且拒不搬走。小朱先与小李协商，要求其一个月内搬走，小李却不以为然。小朱随后委托律师发催告函，要求小李半个月内搬离，小李仍不理会。小朱无奈提起诉讼，要求小李搬离并赔偿损失，争议点在于小李是否应搬离及赔偿。

案情分析:

1、小朱与小李协商，这是合理的解决途径，小朱明确表明房子归属及要求合理期限搬离，小李不配合存在过错。
2、发送催告函是在协商无果后的恰当举措，明确法律后果且保留凭证，符合法律程序。
3、提起诉讼是维护自身合法权益的有效方式，法院会依据证据和法律判决，若小李拒不执行，强制执行可保障小朱权益。