不可以。
供销社老房子是公房，只有使用权，因此不可以办理房产证。
房产证是指购房者通过交易，取得房屋的合法所有权，可依法对所购房屋行使占有、使用、收益和处分的权利的证件。

《房屋登记办法》第七条
办理房屋登记，一般依照下列程序进行：
（一）申请；
（二）受理；
（三）审核；
（四）记载于登记簿；
（五）发证。
房屋登记机构认为必要时，可以就登记事项进行公告。