当偷狗行为被发现时，派出所通常会依据《中华人民共和国治安管理处罚法》来进行处理。
首先，从一般情况来看，偷狗行为属于盗窃行为范畴。
按照法律规定，这种行为可处以五日以上十日以下拘留，并且还可以并处五百元以下罚款。
倘若情节较为严重，比如偷狗的数量较大，或者是多次进行盗窃等情形，那么就可能构成盗窃罪。
一旦构成盗窃罪，偷狗者将面临更为严厉的刑事处罚。
派出所在处理偷狗案件时，会先开展细致的调查取证工作。
这其中包括对现场进行仔细勘查，不放过任何一个可能与偷狗行为相关的线索；同时，也会询问相关的人员，了解事情的经过和细节。
只有在确定了偷狗的事实之后，派出所才会根据具体的情况作出相应的处罚决定。
此外，对于失主来说，他们也可以通过民事诉讼的方式，要求偷狗者对自己的损失进行赔偿。
民事诉讼为失主提供了一种合法的途径，让他们能够维护自己的权益，得到应有的赔偿。

案情回顾:

小朱的狗丢失后发现是被小李偷走，小朱报警。小李偷狗行为被发现，争议点在于小李行为是一般盗窃按治安管理处罚，还是构成盗窃罪。派出所介入调查，失主小朱也考虑通过民事诉讼索赔。

案情分析:

1、若小李偷狗属一般情况，依《治安管理处罚法》，可处五日以上十日以下拘留，可并处五百元以下罚款。
2、若小李偷狗数量大或多次盗窃等情节严重，构成盗窃罪，将面临更严厉刑事处罚。
3、派出所需勘查现场、询问人员确定偷狗事实后作处罚决定。
4、小朱通过民事诉讼索赔，是维护自身权益合法途径。