首先，我们得搞清楚到底是何种性质的案件所对应的法院判决书。
要是涉及刑事案件，一旦判决生效，法院就会迅速把判决书送达给公安机关等相关的司法机关。
这里压根就不存在谁去申请的事儿，这纯粹是司法机关之间内部进行的司法文书流转程序，通常用不了太长时间就能完成，大概几天到几周的样子，具体得看案件的实际情况以及司法机关的工作安排。
而要是民事案件，一般来讲和公安局没啥直接关系的。
除非出现了特殊情况，就像民事判决结果里面包含了刑事犯罪的线索之类的。
但即便如此，也不存在向公安局申请判决书这种情况。
所以，你一定要根据自己具体的案件类型和实际情况，才能准确地做出判断。
这就像是不同的道路，得按照各自的规则和情况去走，不能搞混。