监外执行的申请与批准流程通常包括以下几个步骤：
首先，经证明并确认囚犯具备法律规定的监外执行资格或条件（例如，身患重病需在外治疗康复）；
接着，由相关部门或机构向监管机构提交书面申请以申请批准；
该申请通常由监狱方面提出，并上报至所在省级、自治区或者直辖市级的监管机构进行审批。
在请求批复之前，相关监管机构会参考和咨询囚犯居住地的警局和检察院，充分了解与此事务相关的信息。
而若为法院方面决定暂予监外执行的案件，应尽快将这一决定通知囚犯居住地的县级公安机关和检察院。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百六十五条
【监外执行】对被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，有下列情形之一的，可以暂予监外执行：
（一）有严重疾病需要保外就医的；
（三）生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会的。
对被判处无期徒刑的罪犯，有前款第二项规定情形的，可以暂予监外执行。
对适用保外就医可能有社会危险性的罪犯，或者自伤自残的罪犯，不得保外就医。
对罪犯确有严重疾病，必须保外就医的，由省级人民政府指定的医院诊断并开具证明文件。
在交付执行前，暂予监外执行由交付执行的人民法院决定；在交付执行后，暂予监外执行由监狱或者看守所提出书面意见，报省级以上监狱管理机关或者设区的市一级以上公安机关批准。