依法依律，《中华人民共和国刑法》中的第二百九十三条明确指出，寻衅滋事罪的施加方应为个体自然人，仅仅是基于他或她自身的因素产生的行为。
然而，身为国家公职人员的交警部门，他们的使命则是坚决贯彻交通管理法规，致力于维护社会环境下的交通秩序，并有责任予以揭露和打击任何交通违规行为。
在此过程中，法律责任要求他们必须依法行事，不可以任意妄为，更不可逾越立法者划定的职权范围。
在依法行政的道路上，如果交警部门滥用个人手中的权力，那么就可能涉嫌构成滥用职权罪及其他相关罪名。
举例说，该类罪行一般会涉及公安部门对涉嫌寻衅滋事者实施拘留行动。
对此，我们需遵循《中华人民共和国治安管理处罚法》以及《中华人民共和国刑事诉讼法》中的相关规定。
然而，当交警部门在执行公务时，若其采取的措施已经超出了交通管理的正常范畴，或者在执行公务过程中滥用职权，那么他们就可能面临滥用职权罪或其他相关罪名的指控。
因此，在特定情况下，如果交警部门在执行公务时的行为符合寻衅滋事罪的构成要素，例如随意殴打他人、追逐拦截辱骂他人等，那么他们就可能会受到刑事追责。
然而，对于交警部门是否拥有对涉嫌寻衅滋事者进行拘留的权利，这需要根据实际情况进行深入分析，而非简单地做出肯定或否定的判断。
如果交警部门在执行公务时超越了自己的职权范围，或者滥用了手中的权力，那么他们自己可能会面临滥用职权罪或其他相关罪名的指控，而非寻衅滋事罪。
总而言之，交警部门在执行公务时，如果其行为符合寻衅滋事罪的构成要素，那么他们就可能会受到刑事追责。
然而，关于他们是否拥有对涉嫌寻衅滋事者进行拘留的权利，这需要根据实际情况进行深入分析。
如果交警部门在执行公务时滥用了手中的权力，那么他们自己可能会面临滥用职权罪或其他相关罪名的指控。

《中华人民共和国刑法》第二百九十三条
有下列寻衅滋事行为之一，破坏社会秩序的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制：
（一）随意殴打他人，情节恶劣的；
（二）追逐、拦截、辱骂、恐吓他人，情节恶劣的；
（三）强拿硬要或者任意损毁、占用公私财物，情节严重的；
（四）在公共场所起哄闹事，造成公共场所秩序严重混乱的。
纠集他人多次实施前款行为，严重破坏社会秩序的，处五年以上十年以下有期徒刑，可以并处罚金。