根据我国现行《中华人民共和国刑法》第六十七条之规定，自首被定义为犯罪行为发生之后，主动向公安或司法部门投案，并且对自己所犯下的罪行进行详细、真实的坦白交代。在此前提条件下，上述条款并没有明示禁止曾因其他罪名而被定罪判刑的人员通过自首来减轻自身责任。也就是说，只要该嫌犯具备了自首所需的基本条件，也就是在犯罪发生之后主动向公安或司法部门投案，同时对自己所犯下的罪行进行详尽且真实的坦白交代，那么他就应当被视为已经完成了自首的行为。由此可见，即使一个犯罪嫌疑人曾经因为寻衅滋事罪而被判定有罪，但只要他能够在新的犯罪行为发生之后，积极地向相关部门投案，并且对自己的罪行进行真实、全面的坦白交代，那么他依然有可能通过自首的方式来减轻自身的法律责任。然而，最终是否能够被认定为自首，还需要考虑到案件的具体情节以及司法机关的判断结果。

《中华人民共和国刑法》第六十七条
犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。
被采取强制措施的犯罪嫌疑人、被告人和正在服刑的罪犯，如实供述司法机关还未掌握的本人其他罪行的，以自首论。
犯罪嫌疑人虽不具有前两款规定的自首情节，但是如实供述自己罪行的，可以从轻处罚；因其如实供述自己罪行，避免特别严重后果发生的，可以减轻处罚。