在被告人供认后，通常情况下其自首情节无法得以成立。
根据我国现行《中华人民共和国刑法》典中的第六十七条明确规定，当犯罪行为发生之后，主动向公安机关或执法部门投案并全面且准确地交代了自身所实施的具体犯罪行为的，便构成了自首。
对于那些自愿承认罪行的犯罪者，法律会给予他们适当的宽大处理，包括减轻或从轻处罚。
尤其是对于那些犯罪情节相对轻微的人，甚至有可能获得免于刑事处罚的机会。
此外，如果已经被采取强制措施的犯罪嫌疑人、被告人和正在服刑的罪犯能够如实供述司法机关尚未掌握的关于他们个人的其他罪行，那么也将被视为自首。
然而，即使犯罪嫌疑人并不具备上述第一款和第二款中所规定的自首情节，但只要他们能如实供述自己的罪行，就仍可得到从轻处罚的待遇；
而如果他们因为如实供述自己的罪行，从而成功避免了特别严重后果的发生，那么他们还可以进一步得到减轻处罚的优待。

《刑法》第六十七条
【自首】犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。
被采取强制措施的犯罪嫌疑人、被告人和正在服刑的罪犯，如实供述司法机关还未掌握的本人其他罪行的，以自首论。
犯罪嫌疑人虽不具有前两款规定的自首情节，但是如实供述自己罪行的，可以从轻处罚；因其如实供述自己罪行，避免特别严重后果发生的，可以减轻处罚。