于敲诈勒索犯罪案件中，若未能顺利地寻获被告人，依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百一十二条之规定，人民法院有权对相关自诉案件进行调解处理，但需注意的是，该法第二百一十条第三项所规定的案件并不适用于此种调解方法。倘若自诉人在宣告判决之前能够与被告人达成自行和解协议，或者主动撤回自诉申请，那么法院将有可能接受并认可这一请求。若被告人已被羁押，则审理期限应遵循本法第二百零八条第一款及第二款的规定予以执行；反之，若被告人尚未被羁押，则法院应当在收到自诉状之日起六个月内完成审判工作。
然而，您所提出的问题似乎存在一些混淆之处，即自诉案件与公诉案件的处理方式有所不同。自诉案件通常是指被害人或其法定代理人以个人名义直接向人民法院提起的刑事案件，而公诉案件则是由人民检察院代表国家依法提起的。因此，敲诈勒索罪理应归类为公诉案件，由人民检察院代表国家依法提起公诉。若在案件审理过程中未能成功寻获被告人，人民检察院可依法采取追捕措施，如若实在无法找到被告人，则可能导致案件无法继续审理。在实践操作中，若确实无法找到被告人，法院可能会裁定中止审理，或者做出其他适当的处理决定。但是，具体的操作流程还需结合案件的具体情况以及相关法律法规加以确定。若您需要更为详尽的分析解读，我们建议您寻求专业的法律人士提供帮助。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百一十二条人民法院对自诉案件，可以进行调解；自诉人在宣告判决前，可以同被告人自行和解或者撤回自诉。本法第二百一十条第三项规定的案件不适用调解。
人民法院审理自诉案件的期限，被告人被羁押的，适用本法第二百零八条第一款、第二款的规定；未被羁押的，应当在受理后六个月以内宣判。”