对于被判定构成敲诈勒索罪的罪犯，他们应依照以下相关法律法规接受相应的刑事处罚：凡实施敲诈勒索公共财产或私人财产的行为，且数额达到一定程度，或多次进行此类活动者，将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，同时附加或者单独罚款。若数额巨大，或存在其他严重情节，刑期则会增加到三年以上、十年以下，同时也要缴纳罚款。而对犯罪集团的首要分子，他们需承担全部责任。

《刑法》第二百七十四条敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。