对于涉嫌盗窃罪的犯罪嫌疑人而言，其于自首当日是否会遭受拘留措施，需依据个案的具体情况予以判断。
若犯罪情节相对轻微、相关证据尚未充足完善，抑或存在其他无需立即采取拘留措施的特殊情形，那么犯罪嫌疑人有可能在自首当日免于羁押。
然而，倘若犯罪事实清晰明确，证据扎实可靠，并且犯罪情节较为恶劣严重，那么犯罪嫌疑人在自首当日便有可能面临拘留的法律后果。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十二条
【拘留的条件】公安机关对于现行犯或者重大嫌疑分子，如果有下列情形之一的，可以先行拘留：
（一）正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的；
（二）被害人或者在场亲眼看见的人指认他犯罪的；
（三）在身边或者住处发现有犯罪证据的；
（四）犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的；
（五）有毁灭、伪造证据或者串供可能的；
（六）不讲真实姓名、住址，身份不明的；
（七）有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的。