根据我国法律规定，当某人因涉嫌触犯相关罪名而被公安机关采取刑事拘留措施之后，应在执行拘留的次日24小时内，向该人的直系亲属发出书面通知。
然而，若出现无法通知或涉嫌涉及危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪等情况，且此种通知可能会对案件侦查工作产生阻碍时，则需等待此类阻碍因素消除后，再及时向被拘留者的家属发布通知。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条
【拘留的程序】公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。
拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。