按照通常流程，如果公安部门认定有必要对某位被拘留者进行起诉，他们应在该案被拘留之后的三日内向人民检察院提出请求，交由检察官进行审查并做出是否批准逮捕的决策。
然而，对于某些特殊事件，例如涉及到跨区域或多次犯罪行为，或者是大规模团伙犯罪等重大案件，提请审查批准的期限则可以延长一天至四天。
根据法律规定，人民检察院应对此给予高度重视，在收到公安机关提交的提请批准逮捕书之后，需在七日内做出是否批准逮捕的决定。
若人民检察院未能批准逮捕，公安部门必须在接获通知后立即释放相关人员，同时将执行情况及时告知人民检察院。
对于那些需要进一步调查，且符合取保候审和监视居住条件的案件，公安部门应依法采取相应措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。