依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条之规定，自被侦查机关首次讯问或采取强制措施之日起，犯罪嫌疑人即拥有了委托律师作为辩护人的权利。
因此，当犯罪嫌疑人遭受刑事拘留之际，可以立即开始寻找并委托合适的辩护律师为其提供法律援助。
一旦辩护律师接受委托，应尽快将此情况通知负责处理该案的相关司法机构。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条
犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；
在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。被告人有权随时委托辩护人。
侦查机关在第一次讯问犯罪嫌疑人或者对犯罪嫌疑人采取强制措施的时候，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民检察院自收到移送审查起诉的案件材料之日起三日以内，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民法院自受理案件之日起三日以内，应当告知被告人有权委托辩护人。犯罪嫌疑人、被告人在押期间要求委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当及时转达其要求。
犯罪嫌疑人、被告人在押的，也可以由其监护人、近亲属代为委托辩护人。
辩护人接受犯罪嫌疑人、被告人委托后，应当及时告知办理案件的机关。