依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条之明文规定，自犯罪嫌疑人首次遭到侦查机关询问或遭受强制措施约束之日起，便可享有委托辩护律师的权利。
侦查机关有义务告知犯罪嫌疑人此项权利，同时，若犯罪嫌疑人、被告人在羁押期间请求委托辩护人，则人民法院、人民检察院及公安机关应立即将其意愿传达给相关部门。
对于涉及交通肇事罪的犯罪嫌疑人，倘若不幸遭受到刑事拘留，那么他们应当尽早委托辩护律师。
一旦辩护人接手委托，务必及时通知负责处理该案件的有关机构。
根据第九十六条的明确规定，如发现对犯罪嫌疑人、被告人实施强制措施存在不当之处，应立即予以撤销或进行相应调整。
因此，辩护人需时刻关注案件进展情况，以确保犯罪嫌疑人的合法权益得以充分保障，并且在必要之时，向办案机关提交变更强制措施的申请。
总而言之，涉嫌交通肇事罪的犯罪嫌疑人在遭遇刑事拘留之后，应当尽快委托辩护律师，并要求辩护人密切关注案件进展，以确保自身的合法权益得到充分保障。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条
犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；
在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。被告人有权随时委托辩护人。
侦查机关在第一次讯问犯罪嫌疑人或者对犯罪嫌疑人采取强制措施的时候，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民检察院自收到移送审查起诉的案件材料之日起三日以内，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民法院自受理案件之日起三日以内，应当告知被告人有权委托辩护人。犯罪嫌疑人、被告人在押期间要求委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当及时转达其要求。
犯罪嫌疑人、被告人在押的，也可以由其监护人、近亲属代为委托辩护人。
辩护人接受犯罪嫌疑人、被告人委托后，应当及时告知办理案件的机关。