在我国，若堵住门口索要红包的行为涉嫌构成敲诈勒索罪或寻衅滋事罪等违法犯罪行为，那么其相关责任人将会面临刑事拘留。需要注意的是，这里所说的“刑事拘留”并非指刑拘事项的期限，而主要是指公安机关在对涉案人员进行侦查阶段时，需向司法机关提交的批捕申请，以及待相关部门批准后的执行期间，总计通常不会超过37天历日。
然而，具体的拘留期限还将取决于案件的复杂程度与证据收集的进展状况。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。