根据《中华人民共和国刑事诉讼法》之规定，犯罪嫌疑人在东莞市涉嫌刑事案件被依法刑事拘留时，通常需被羁押于本地的看守所。该法案第八十三条为了保证办案执法的透明化及规范化，规定了公安机关在对犯罪嫌疑人实施拘留行动之时，必须向其出示并提供相关的拘留证件。并且，按照法律要求，拘留完毕之后，警方有义务立即将被拘留者送往指定的看守所进行关押，最晚不得超过二十四个小时。因此，可以明确得知，东莞市的市属看守所便是犯罪嫌疑人被刑事拘留期间的具体关押场所。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十三条
公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。
拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。