根据通常情况下的规定，若刑事拘留过程中经由检察官审核后决定不予批捕，公安部门应当在收到通知之后立即释放相关被拘留人士，并将这一执行情况向检察官及其领导的人民检察院进行即时通报。
而在需要进一步展开调查，并且所涉人员满足取保候审以及监视居住等相关条件时，必须依照法定程序采取相应的措施，例如依法进行取保候审或实施监视居住。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。