依据刑事诉讼法之规定，被刑事拘留后的第37天内，仍具有申请取保候审的可能性。
在此期间内，公安机构与人民检察院将依据案件的具体状况，对是否同意进行取保候审作出决策。
通常而言，若犯罪嫌疑人行径较轻，且通过取保候审不会引发社会危害性，或存在诸如患有严重疾病、生活无法自理，孕妇或正处于哺乳期的母亲等特殊情况，则有望获得取保候审批准。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。