在涉及醉酒驾驶的刑事诉讼中，被告人及他们的法定代理人、直系亲属或辩护律师有权利向司法机关提出取保候审的申请。
该项申请的具体流程通常如下所示：
首先，上述有权限提出申请的相关人士需向负责处理此案的司法机关提交书面的取保候审申请。
其次，司法机关将在收到申请之后的一定时间期限内对其进行审查并作出相应的决定。
若决定批准取保候审，则需要被告人提供担保人或者缴纳一定数额的保证金作为担保措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。