在刑事拘留阶段申请取保候审的相关程序通常如下所示：首先，犯罪嫌疑人、被告方及其法定代理人、近亲或律师有权利向公安机关、人民检察院或人民法院提交取保候审的申请。
其次，司法机构将在收到申请之后的一定时间期限内对其进行全面审查，综合考量犯罪嫌疑人、被告方的社会危害性、案件的严重程度、情节发展、可能被判处的刑罚以及犯罪嫌疑人、被告方的行为表现等多方面因素。
若经审查符合取保候审的各项条件，司法机构将会责令犯罪嫌疑人、被告方向提供保证人或者缴纳保证金。
最后，司法机构将依法作出是否批准取保候审的决定，并将此决定通知执行机关予以执行。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。