在我国法律体系中，对于刑侦机关在收到犯罪嫌疑人的相关法律文书后，将其送入看守所留置之后，申请取保候审的期限并未有明确规定统一的期限限制。
通常情况下，当犯罪嫌疑人被依法羁押之后，他们自身、法定代理人、近亲属以及辩护人等都享有向司法机关提出取保候审申请的权利。
然而，最终决定是否批准取保候审，则需要根据案件的性质、情节、社会危害程度以及犯罪嫌疑人、被告人的具体状况等多方面因素进行全面考量与评估。
若案件情况较为简单明了，犯罪情节轻微且嫌疑人对社会不存在重大威胁，那么申请取保候审的审批过程往往会相对迅速。
然而，若案件错综复杂，犯罪性质恶劣，审批时间便可能相应延长。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。