依据我国现行有效的《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条之规定，取保候审的申请可由人民法院、人民检察院以及公安机关三方进行审批办理。因此，究竟应由哪一级别法院负责办理取保候审事宜，需视案件的具体情况及所处的处理阶段而定。若在案件的侦查阶段提出申请，则通常由公安机关负责办理；若在审查起诉阶段提出申请，则由人民检察院负责办理；若在审判阶段提出申请，则由人民法院负责办理。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。