在遭遇亲属遭受刑事拘留之际，当事人及其家庭成员可参照以下步骤进行申请取保候审：
首先，务必寻求专业律师协助，以便获取更加专业及有针对性的法律咨询与代理服务；
其次，在律师的指导下，根据案件实际情况，精心准备相关材料，如取保候审申请书，其中需详细阐述嫌疑人的个人信息、犯罪行为的具体经过、可能面临的刑罚处罚以及申请取保候审的合理原因等关键内容；
再次，由律师代表当事人向负责办理该案件的司法机构（通常为公安部门或者检察机关）递交取保候审申请，同时可能需要提供担保人或者缴纳相应数额的保证金作为保证；
最后，耐心等待司法机构对申请进行审核，如果经审查认定符合取保候审的条件，则会予以批准。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。