在犯罪嫌疑人或被告人为被拘留或逮捕的情况下，他们可以自由地选择寻求保释候审的方式。此种行为可由当事人本身、其直系亲属或辩护人直接向负责调查的司法机构提交申请。通常情况下，此类申请应在被采取刑事拘留或逮捕措施之后进行，只有当被认为具备合法申请条件时才会启动。关于申请的实际操作，其具体的时间节点并未作明确规定，然而建议尽快着手处理以确保能够迅速地得到权威部门的审理与裁决。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条：
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。