在公安部门作出逮捕决定之后，取保候审的可能性以及申请的时限，并没有一个确定的天数作为标准。这主要是因为无论是案件的复杂程度还是犯罪嫌疑人和被告的个人情况都无法按照一定的逻辑进行简单总结。在这个过程中，法院、检察院和公安机关将根据案件的具体情况、对社会可能产生的危害等多个方面的因素，进行综合考虑并最终决定是否批准取保候审。一旦相关机构做出了同意取保候审的决定，申请人就需要抓紧时间办理相应的程序和手续以确保诉讼程序的顺利推进。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。