针对累犯主动投案并寻求取保候审的案例，相关部门在决定是否给予当事人这一权利时，应当对其具体涉案情节、深刻反省及对社会实质威胁做出全面包容的考量。假如该累犯在自首之后能提交充分有效的担保，例如由保证人为其承担保证责任或者缴纳保证金作为财产担保，同时满足了我国《中华人民共和国刑事诉讼法》中关于取保候审的其他必要条件，比如可能被判处管制、拘役或者独立适用附加刑等，那么司法机构有可能会慎重考虑并批准其提出的取保候审请求。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。