若遭遇保险公司的拒绝赔偿，申请人在向法院提起诉讼请求时有权要求保险公司支付相应利息。
然而，该主张最终是否能得到支持，还需由法官根据案情做出公正裁决。
通常而言，仅当保险公司原本在法律规定上应当承担赔付义务，或者申请人在投保过程中并无明显过失时，如保险公司拒绝赔付、只赔偿一部分金额或者迟迟未予赔偿等情形，申请人方可寻求律师协助进行诉讼并提出利息诉求。
此外，如果保险公司拒绝赔偿是基于合理的理由，即被保险人所发生的风险事件并不符合保险合同中的理赔条件，那么保险公司将无需支付任何利息，甚至可能连已经收取的保费都无法予以退还。

《中华人民共和国民事诉讼法》
第二百五十三条被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行给付金钱义务的，应当加倍支付迟延履行期间的债务利息。被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行其他义务的，应当支付迟延履行金。