倘若保险机构未能就理赔事宜达成共识并予以支付，通常可以采取下列几种解决方案：
首先，您有权向该保险公司正式提交异议申请，请求其对理赔金额进行重新审核和评估；
其次，您亦可选择通过申请仲裁来维护自己的合法权益；
此外，如上述方法均无法解决问题，则您还有权提起诉讼以捍卫自身权益；
最后但并非最次要的手段是，您还可以向当地金融监管部门申诉投诉，以便寻求他们的协助和支持。
需要指出的是，如果保险公司在处理理赔过程中违反了相关法律法规，且拒不履行其应尽的赔偿责任，那么它将面临相应的法律制裁，这其中可能涉及到罚款、吊销营业执照等严厉处罚措施。

《中华人民共和国保险法》第七十六条：保险公司应当按照保险合同的约定，及时支付保险金。违反前款规定，拖延支付保险金的，依法承担逾期支付利息等民事责任；构成犯罪的，依法追究刑事责任。