在面临保险公司不予理赔的困境时，当事人有权采取以下措施寻求解决方案：
首先，通过友好协商达成双方都能接受的协议；若协商无果，当事人可依法向具有国家权威性的国务院保险监督管理机构、中国人民银行以及国务院其他金融监督管理机构等相关部门进行投诉申诉，或者直接向法院提起诉讼，以维护自身合法权益。

《保险法》第二十三条
保险人收到被保险人或者受益人的赔偿或者给付保险金的请求后，应当及时作出核定；
情形复杂的，应当在三十日内作出核定，但合同另有约定的除外。
保险人应当将核定结果通知被保险人或者受益人；
对属于保险责任的，在与被保险人或者受益人达成赔偿或者给付保险金的协议后十日内，履行赔偿或者给付保险金义务。
保险合同对赔偿或者给付保险金的期限有约定的，保险人应当按照约定履行赔偿或者给付保险金义务。
第一百五十七条
国务院保险监督管理机构应当与中国人民银行、国务院其他金融监督管理机构建立监督管理信息共享机制。
保险监督管理机构依法履行职责，进行监督检查、调查时，有关部门应当予以配合。