当保险公司拒绝赔偿时，投保者有权在向法院提起诉讼的同时请求该保险公司自行支付利息。
然而，最终是否能够成功实现这一要求，须待审判法官的裁决为准。在此情形中，仅限于当保险公司原本应当承担赔偿责任之时，或者投保方未曾犯有严重的投保过失行为，而保险公司拒绝赔偿、无力全额赔付或延迟赔付之际，方可寻求律师帮助，对其进行起诉并提出利息索赔。
此外，若保险公司拒绝赔偿的决定是基于合理的考虑，即被保险人所遭遇的风险事件并不符合相关条款规定的理赔条件，那么保险公司将无权支付任何利息，甚至可能无法返还已经缴纳的保费。

《中华人民共和国民事诉讼法》
第二百五十三条被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行给付金钱义务的，应当加倍支付迟延履行期间的债务利息。被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行其他义务的，应当支付迟延履行金。