在离婚诉讼中，若子女的抚养权被判定由父亲享有，母亲则有权承担监护责任。
这是因为无论是父母中的哪一方，他们都拥有抚养和教育子女的法定权利以及不可推卸的义务，而且这种权利与义务不会因为夫妻二人婚姻关系的破裂而随之消亡。
关于子女抚养权的归属问题，父母双方可通过友好协商达成共识；
如若无法达成一致意见，则可向法院提起上诉。
根据相关法律法规，当一方存在诸如严重疾病、吸食毒品、家庭暴力、虐待儿童等可能影响到子女身心健康发展的行为时，另一方提出变更子女抚养权的请求应当得到支持。
此外，父母双方还可以签署抚养协议，明确约定抚养费的具体数额。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条
【离婚后的父母子女关系】父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。
离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。
离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。
离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。
已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。
子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。