依据我国相关法律的规定，抚养人不给付抚养费的，如果被抚养人年幼没有独立生活能力的，最严重的后果会构成遗弃罪。
父母不履行抚养义务时，未成年的或不能独立生活的子女，有要求父母付给抚养费的权利。

《民法典》第一千零六十七条
父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。
成年子女不履行赡养义务的，缺乏劳动能力或者生活困难的父母，有要求成年子女给付赡养费的权利。
刑法第三百一十三条
【拒不执行判决、裁定罪】对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；
情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。