当异地离婚判决书不慎丢失时，我们可以采取以下妥善的处理方式。
首先，我们应当前往作出判决的法院进行补办申请。
因为法院通常会妥善留存各类判决书的档案资料，所以我们只需携带本人有效的身份证明等相关材料，前往法院的立案庭，向工作人员说明来意并提交申请。
立案庭的工作人员会根据我们提供的信息，在档案库中查找对应的判决书档案，并按照规定的程序为我们办理补办手续。
其次，如果法院无法直接为我们补办判决书，那么我们可以申请法院出具判决书的副本或证明。
这份副本或证明与原件在法律上具有同等的效力，能够满足我们在后续办理诸如房产过户、户口迁移等重要事务时的需求。
不过，补办或获取副本证明的过程可能不会一帆风顺，需要我们耐心地配合法院的各项工作，包括填写相关申请表格、等待审批等环节。
总之，一旦发现异地离婚判决书丢失，我们应立即采取行动，及时补办或获取相关文件，以避免因判决书丢失而给我们的生活和工作带来不必要的不便。