当离婚证不慎遗失或遭到损毁时，我们可以采取以下措施来补办。
首先，可以向原办理婚姻登记的机关提出申请，也可以向一方当事人常住户口所在地的婚姻登记机关申请补领。
在申请时，需要提交本人的身份证和户口本，这是证明个人身份的重要凭证。
同时，还需提供婚姻登记档案保管部门出具的婚姻登记档案证明，该证明能证实婚姻登记的相关信息。
婚姻登记机关会对当事人的婚姻登记档案进行仔细查证，只有当确认档案内容属实后，才会为其补发离婚证。
如果婚姻登记档案遗失了，那么当事人应当提交能够证明其婚姻状况的相关证明，比如结婚证明、离婚判决书等。
经婚姻登记机关查证属实后，就会为当事人补发离婚证。
需要注意的是，补办离婚证的具体流程和要求在不同地区可能会有所差异，所以建议大家提前咨询当地的婚姻登记机关，以便顺利完成补办手续。
这样，我们就能妥善处理离婚证遗失或损毁的问题，保障自己的合法权益。