依据现行的相关法律条文，在交强险的范畴之内，保险公司肩负着垫付抢救费用的法定责任。
倘若保险公司未履行这一垫付义务，那么伤者的家属便可以先行自行垫付相关费用，之后再向保险公司提出追偿要求。
伤者的家属务必谨慎且妥善地保管好所有与医疗费用相关的票据以及其他各类证据。
与此同时，他们还可以积极主动地与保险公司进行沟通和协商，务必要弄清楚保险公司不垫付费用的具体原因。
要是经过协商仍然无法达成一致结果，家属们就可以借助法律途径来解决问题，即向法院提起诉讼，依法要求保险公司履行垫付的义务。
在诉讼的整个过程当中，家属需要提供详尽的相关医疗证明以及准确的事故责任认定等材料，这些材料将有力地支撑他们的诉求。
法院会依据实际情况进行全面且公正的审理，最终作出判决，强制要求保险公司切实履行垫付责任，以保障伤者及其家属的合法权益。

案情回顾:

小朱发生交通事故受伤，急需抢救。按交强险规定，保险公司应垫付抢救费用，但保险公司未履行。小朱的家属小李自行垫付了费用。小李向保险公司追偿时被拒，双方产生争议，小李认为保险公司应按规定垫付，保险公司却有不同理由，协商无果。

案情分析:

1、小李自行垫付费用符合规定，因为保险公司未履行垫付义务时家属可先行垫付。
2、小李在向保险公司追偿时，应保管好医疗票据等证据。若协商不成，可通过诉讼解决，诉讼时提供医疗证明、事故责任认定等材料，法院会公正审理并判决保险公司履行垫付责任。