通常来讲，驾驶员承担全部责任并不一定会背负刑事责任。
在道路交通事故领域里，倘若仅仅导致了较为轻微的财产损失，并且当事人对于事故的事实以及成因都没有任何争议，那么就可以自行协商去处理该事故，或者是报警之后让交警来进行处理，像这样的情形一般是不会和刑事责任沾边的。
然而，要是造成了一人以上重伤的严重后果，同时又对事故承担全部或者主要责任，那么就极有可能构成交通肇事罪，此时就必须要承担起刑事责任了。
具体的判定过程是非常复杂的，需要综合考量诸多因素，比如伤亡的具体人数、导致事故发生的原因等等。
总而言之，驾驶员承担全部责任仅仅是一个最开始的状况，到底是否需要背负刑事责任，必须要结合具体的事故后果以及相关的法律规定来进行准确的确定，不能一概而论。

案情回顾:

小朱驾车与小李的车发生碰撞，造成小李重伤。小朱被认定为承担全部责任。小朱认为自己虽负全责但不应承担刑事责任，而小李则认为小朱造成自己重伤，应承担刑事责任，双方产生争议。

案情分析:

1、小朱造成小李重伤且承担全部责任，根据规定，造成一人以上重伤且承担全部或主要责任时，有可能构成交通肇事罪。
2、小朱虽对承担刑事责任有异议，但事故造成的严重后果符合可能涉刑的情形，需综合多因素判定，不能仅以全责就判定无需承担刑事责任。