当遇到私人口腔诊所的医疗纠纷时，具体可以这样处理。
首先，患者一定要仔细地将所有与医疗相关的资料妥善保留下来，像病历，那上面详细记录了治疗的过程、诊断的结果等关键信息；
检查报告能直观地反映出患者的身体状况以及各项检查指标的情况；
收费凭证则清晰地显示了治疗过程中所产生的费用明细。
接着，患者可以和诊所的负责人或者医护人员心平气和地进行友好协商，把纠纷的关键所在以及自己的诉求都明确地表达出来，努力尝试达成双方都能接受的和解方案。
要是协商没有结果，就可以向当地的卫生行政部门进行投诉，卫生部门会马上对诊所展开全面的调查，根据调查结果进行相应的处理。
另外，也可以向专门的医疗纠纷调解机构申请调解，调解机构会安排专业人员组织双方进行调解工作，通过沟通和协商促使双方达成和解协议。
如果经过这些途径还是无法解决问题，患者就可以向法院提起诉讼，在诉讼过程中，必须要提供足够充分的证据，比如病历、检查报告等，以此来证明诊所存在医疗过错以及给自己带来的具体损失。
总之，遇到医疗纠纷一定要及时采取行动，妥善处理，防止矛盾进一步激化，以保障自己的合法权益。