关于轻微伤害案件中的私人解决方式以及补偿额达人民币五千元的情况，一般来说并不被视为敲诈勒索。
然而，敲诈勒索在法律定义中特指个人的主观犯罪意图在于非法获取他人财产，采用威胁或者恐吓等手段，强迫他人交付公私财物的违法行为。
在轻微伤害案件的私人解决过程中，补救金额往往是由双方自愿协商决定的。
若双方能够在平等、自愿、公正的原则下达成共识，同意支付五千元作为补偿，并且这个金额已经充分考虑到了医疗费用、误工工资、护理费用等相关经济损失的情况下得出的，那么这种做法就属于合法的民事和解。
然而，如果有任何一方通过威胁、恐吓等非法手段来施压，逼其支付高于实际需要的五千元的补偿款，而且这个数额与合理的赔偿标准相去甚远，那就有很大可能演变为敲诈勒索。
究竟是否构成敲诈勒索，还需综合考量各种复杂因素结合相关证据才能做出准确判断。