未婚生子的父母在法律层面同样拥有争取孩子抚养权的权利，以下为你详细分析：
一、明确的法律依据
我国法律明确规定，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利。
这意味着，无论孩子是在婚姻关系内还是之外出生，其合法权益都应得到平等的保障，任何组织或者个人都不得对非婚生子女加以危害和歧视。
而且，不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当依法负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。
这不仅体现了法律对非婚生子女权益的重视，也明确了父母应尽的抚养责任。
二、抚养权归属判断因素
1.对于两周岁以下的子女，一般情况下会随母方生活。
因为在这个阶段，孩子通常更需要母亲的照料和关爱。
但如果母方存在一些不适宜抚养孩子的情形，比如患有严重的传染性疾病、没有稳定的生活环境等，那么抚养权可能会判给父方。
2.当孩子两周岁以上且未成年时，若父方和母方均要求随其生活，法院会全面综合考虑双方的抚养能力和抚养条件等多方面因素。
三、特殊情况的考量
如果一方存在严重不利于孩子身心健康的情况，比如患有严重疾病，可能无法为孩子提供良好的生活和成长环境；或者有虐待孩子的行为，这对孩子的身心发展会造成极大的伤害。
在这种情况下，另一方获得抚养权的可能性就会比较大。

案情回顾:

小朱和小李未婚生子，孩子出生后，双方都想争取孩子的抚养权。小朱认为自己经济条件好能给孩子更好生活，小李则强调自己作为母亲能给予孩子更多关爱，双方为此产生争议，诉至法院。

案情分析:

1、根据法律，非婚生子女与婚生子女权利同等，小朱和小李都有争取抚养权的权利，不直接抚养一方需负担抚养费。
2、若孩子两周岁以下，一般随母方小李生活，除非小李存在不适宜抚养情形，如患严重传染性疾病等，抚养权才可能判给小朱。
3、孩子两周岁以上未成年时，法院会综合考虑双方抚养能力和条件，如经济收入、居住环境等，按最有利于孩子原则判决。若一方有严重不利孩子身心健康情况，另一方获抚养权可能性大。