如果一方不履行支付抚养费的责任，可通过以下途径妥善解决：
1.协商解决：
当遇到一方不付抚养费的情况时，首先可以尝试与对方进行友好且深入的沟通协商。
在沟通中，清晰、明确地向对方阐述支付抚养费是其应尽的法定义务，强调这不仅是法律的要求，更是对孩子成长和生活的基本保障。
同时，要求对方按照约定的时间和金额按时支付抚养费。
为了确保双方的权益都能得到保障，在协商过程中可以形成一份详细的书面协议，将双方协商达成的内容，如支付的金额、支付的方式、支付的周期等都明确地记录下来，以便日后双方遵守和参考。
2.申请司法调解：
若经过多次协商都无法达成一致意见，此时可以向人民调解委员会等专业调解机构申请调解。
这些机构拥有专业的调解人员，他们会秉持公正、客观的原则介入协调。
调解人员会充分了解双方的实际情况和诉求，通过耐心的劝导和沟通，促使对方认识到自己的责任和义务，从而履行支付抚养费的义务。
3.提起诉讼：
如果调解也无法取得理想的结果，那么可以向法院提起诉讼。
法院会依据相关法律法规和实际情况进行全面、细致的审理，并作出公正的判决，要求对方支付抚养费。
若对方在判决生效后仍然拒不履行支付义务，可向法院申请强制执行。
法院有权采取多种强制手段，如查询对方的银行存款、冻结其账户、扣划其财产等，以确保抚养费能够顺利支付。
此外，需要注意的是，拒不执行判决可能构成拒不执行判决、裁定罪，届时对方将面临刑事处罚。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小李拒绝支付孩子抚养费。小朱先与小李协商，要求其履行义务并拟书面协议，小李拒绝；后小朱申请司法调解，调解也未成功，争议点在于小李始终不认支付抚养费的责任。小朱遂提起诉讼。

案情分析:

1、小朱与小李协商时，小李拒绝，表明其缺乏对自身法定义务的正确认知，支付抚养费是保障孩子基本生活的必要条件。
2、司法调解失败后，小朱提起诉讼是合理合法的维权途径，法院会依据事实和法律作出公正判决。
3、若小李在判决生效后仍不支付，小朱可申请强制执行，小李还可能面临刑事处罚。