当法院对抚养权作出判决后，若对方不执行该判决，可通过以下途径来解决：
一、协商沟通
首先，尝试与对方进行友好协商。
在协商过程中，要清晰、明确地向对方阐述不执行判决所带来的法律后果。
通过这种方式，让对方充分认识到问题的严重性，从而争取以和平的方式解决问题，促使对方主动履行判决。
这不仅有利于问题的解决，也能最大程度地减少对孩子成长的不良影响。
二、申请强制执行
若协商未能取得理想的结果，那么就可以向法院申请强制执行。
法院在接到申请后，有权采取多种有效的强制执行措施。
例如，法院可以查询对方的银行存款信息，并根据情况对其存款进行冻结、划拨；还可以扣留、提取对方的收入，像工资、奖金等；另外，对于对方名下的财产，如房产、车辆等，法院有权进行查封、扣押，必要时进行拍卖、变卖。
对于那些拒不执行判决、裁定的行为，法院可依法对其进行罚款、拘留等处罚，以维护法律的权威性。
三、变更抚养权
如果对方长期不履行抚养义务，对子女的生活和成长造成了严重的影响，通过变更抚养权，能够切实保障子女的合法权益，为孩子创造一个更有利的成长环境。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，法院判决孩子抚养权归小朱，但小李拒绝执行判决。小朱先尝试与小李协商，强调不执行后果，无果后申请强制执行，仍未解决问题，且孩子基本生活受影响，小朱遂申请变更抚养权。

案情分析:

1、小朱与小李协商沟通时，小李可能未充分认识到不执行判决的严重法律后果，所以未主动履行。
2、申请强制执行阶段，法院虽有多种措施，但小李可能采取隐匿财产等方式规避执行。
3、因小李长期不履行义务影响孩子成长，小朱申请变更抚养权，法院应综合考量孩子利益，依法作出变更决定。